Ley+de+Fourier



Esta ley nos permite cuantificar el flujo de Calor conducido a partir del conocimiento de la distribución de la temperatura en el medio.

Esta ley establece que el flujo de calor entre dos cuerpos es directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre ambos, y solo puede ir en un sentido: el calor sólo puede fluir del cuerpo más caliente hacia el más frío. Las trayectorias mecánicas, por el contrario, son reversibles: siempre puede imaginarse el proceso inverso. En su Teoría Analítica del Calor, Fourier dice: “Hay una variedad de fenómenos que no se producen por fuerzas mecánicas, sino que resultan exclusivamente de la presencia y acumulación del calor. Esta parte de la Filosofía Natural no puede explicarse bajo las teorías dinámicas, sino que posee principios suyos particulares, utilizando un método similar a las otras ciencias.

Supongamos que ponemos una sustancia en contacto con dos focos caloríficos a las temperaturas T1 y T2 y aislada térmicamente del resto del universo, como indica la figura a continuación:



Existirá un flujo de calor desde el foco caliente al foco frío (T2 > T1). Si mantenemos constante la temperatura de los focos, se alcanzará un régimen estacionario. Experimentalmente se encuentra que la densidad de flujo de calor a través de cualquier plano perpendicular al eje z es proporcional al gradiente de temperatura.



Expresión que se conoce como Ley de Fourier y en la que el coeficiente de proporcionalidad κ (con unidades de Jm-1s-1K-1 en el sistema internacional) se conoce como conductividad térmica. En general, si el transporte de calor de produce en más de una dirección la ley de Fourier se escribe como:

En el régimen estacionario es constante por lo tanto el flujo es el mismo para cualquier valor de z.



La ley de Fourier se aplica a gases, sólidos y líquidos, siempre que el transporte de calor se produzca únicamente por conducción (choques entre moléculas o átomos que forman la sustancia) y no por radiación o convección (movimientos macroscópicos debido a diferencias de densidad, tal y como ocurre en la ascensión del aire caliente en la atmósfera). Evidentemente, los valores del coeficiente de conductividad son muy diferentes en sólidos, líquidos y gases debido a las diferencias de densidad. Normalmente, cuanto más denso es el sistema más efectivo es el transporte por conducción y por lo tanto κ es mayor en sólidos que en los líquidos y en estos mayor que en los gases, tal y como se observa en la siguiente tabla:



En general el coeficiente de conductividad de una sustancia depende de la presión y la temperatura. Para los gases κ aumenta con la temperatura, mientras que en los líquidos y sólidos puede aumentar o disminuir.

La cantidad de calor transferido por conducción en una dirección dada es proporcional al área que //va// el flujo de calor y a cómo disminuye la temperatura en dicha dirección. Es decir, que la cantidad de calor que se va a perder depende de la superficie del material en contacto con ese flujo y de lo mucho o poco que disminuya la temperatura en dicha dirección. La constante de proporcionalidad es la conductividad térmica. La conducción térmica está determinada por la ley de Fourier. Establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección. > Donde:
 * 1) [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/d/4/4/d448fc9fe78f689272a22bd271ad5c82.png]] es la tasa de flujo de calor que atraviesa el área //A// en la dirección x
 * 2) [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/b/f/f/bff2e94865b44c361e46c4beb2b040fe.png]] (o λ ) es una constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica
 * 3) [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/5/a/7/5a75c6aaa011b76f01e85096dca311d3.png]] es la temperatura.
 * 4) [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/0/c/6/0c68620ee2ea4f1286fcd672a47ea080.png]]el tiempo.
 * La ley de Fourier puede expresarse en términos deflujo de calor,[[image:q.jpg]]. El flujo de calor se define como la velocidad de transmisión de calor por unidad de área perpendicular a la dirección del flujo. La velocidad de transmisión de calor se denomina también potencia.

De la ecuación anterior podemos decir que: En medios homogéneos e Isótropos, la máxima velocidad de transmisión por conducción se produce en la dirección del gradiente de temperatura, por que la densidad del flujo de calor y el gradiente de temperatura son vectores colineales. En medios homogéneos pero anisótropos, la máxima velocidad de transmisión por conducción no se produce en la dirección del gradiente de temperatura, porque la dirección de la densidad del flujo de calor y del gradiente de temperatura no son en general coincidentes.
 * Aplicaciones prácticas de la Ecuación de Furier **

Como se utiliza la ecuación de Fourier //**dQ/dτ = - λ dĀ xt**//

Antes de empezar aclaramos que el signo significa que el flujo de calor va en contra del gradiente de temperaturas, es decir que el calor fluye en dirección contraria a la dirección en que aumenta la temperatura. En forma genérica, en un problema real la ecuación de Fourier se opera de la siguiente manera:
 * Se analiza la superficie que es atravesada por el calor. Se la divide en elementos diferenciales dA.
 * Se definen vectores dĀ perpendiculares a dichos elementos diferenciales de superficie, lo cual significa vectorizar la superficie.
 * Se calcula o se halla [[image:http://termodinamica.4t.com/nabla.gif]] t en cada dĀ.
 * Se realizan los productos escalares [[image:http://termodinamica.4t.com/nabla.gif]]t.dĀ
 * Se suman los resultados, y se multiplica luego por -λ.

A continuación se detallan ejemplos:


 * Ejemplo N° 1 **

**//Pared indefinida: superficie grande de espesor despreciable y material isotrópico y homogéneo//**

Espesor despreciable quiere decir que es algo así como una chapa o una placa. El espesor puede ser de cualquier medida, pero las otras dimensiones del cuerpo deben ser mucho mayores. Isotrópico significa que tiene las mismas propiedades en todas direcciones, y homogéneo implica que tiene las mismas propiedades en todos los puntos del material. Un caso así es una pared de una vivienda que divide dos ambientes a distinta temperatura. A través de la misma habrá un flujo de calor. Suponiendo que las temperaturas se mantienen constantes a través del tiempo, el flujo de calor será continuo a traves del tiempo también, lo que llamaremos régimen permanente.

En la cara 1 tendremos una temperatura t1 homogénea en toda ella, y en la cara 2 tendremos a t2 de la misma forma. En los puntos intermedios del espesor e la temperatura caerá en forma lineal. Para cada punto de las superficies se considerará que vt tiene componente solo en la dirección del eje x, por lo que resultará: //**vt = δt/δx **//

Los vectores diferenciales de la superficie **d ****//Ā//** también tienen la misma dirección, por lo que se consideran todos iguales y se concentran en un factor común **A.** Se reemplazan en la Ley de Fourier los diferenciales del segundo miembro por las expresiones halladas:


 * __dQ __ ** = - ** //λ ////A // || δt/

δx ||
 * **d ****τ ** ||^  ||   ||

La derivada parcial del segundo miembro se considera derivada total, ya que en "y" y en "z" las derivadas parciales valen cero. Transponemos factores para realizar la integración: dx || **= ** || ** - ****//<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">λ //****//<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dt //** ||
 * __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dQ __ || **//__<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">1 __//**
 * **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d ****<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">τ ** || **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">A //** ||  ||^   ||

Se integrará a ambos lados entre los valores correspondientes:
 * En el primer miembro entre **x=0** y el espesor **x=e**
 * En el segundo miembro entre **t=t1** y **t=t2**

Resolviendo las integrales, resulta:
 * __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dQ __ || **//__<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">1 __//** || **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 36pt;">∫ //** || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 12pt;">e ** || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dx ** || **<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">= ** || **<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">- ****//<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">λ //** || **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 36pt;">∫ //** || **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">t2 ** || **//<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dt //** ||
 * **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d ****<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">τ ** ||  || **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">A //** ||^   ||   ||^   ||^   ||^   ||^   ||   ||
 * ^  ||^   ||^   || **<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 12pt;">0 ** || **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">t1 ** ||^   ||^   ||^   ||^   ||^   ||
 * ^  ||^   ||^   || **<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 12pt;">0 ** || **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">t1 ** ||^   ||^   ||^   ||^   ||^   ||


 * __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dQ __ || **//__<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">1 __//** ||  || **<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">= ** || **<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">- ****//<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">λ/ //**
 * <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">e ** || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">(t2-t1) ** ||
 * **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d ****<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">τ ** || **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">A //** ||  ||^   ||^   ||^   ||

Transponiendo una vez más, obtenemos una ecuación que calcula el flujo de calor, o la cantidad de calorías por unidad de tiempo y por unidad de superficie.
 * __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dQ __ || **//__<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">1 __//** || **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">= ** || <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">(t2-t1) || <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">- //<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">λ // ||
 * **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d ****<span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt;">τ ** || **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">A //** ||  ||^   || <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">e ||


 * Ejemplo N° 2 **

En este caso la transmisión es radial, y las superficies cilíndricas son isotérmicas.
 * //Tubo cilíndrico de material isotrópico, homogéneo y de longitud indefinida//**

Se utilizará un sistema de coordenadas cilíndricas, por el cual el gradiente de temperaturas estará dado por derivadas parciales en las direcciones del radio, del angulo y de la longitud. La única que no será nula será la derivada respecto del radio, por lo que se toma como derivada total: <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 12pt; text-align: right;">vt= <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 12pt;">δt/δR La superficie dA se puede considerar en su dimensión total como:

//**A=2¶Rl**// Donde l es la longitud del tubo. El área será una función del radio, y serán los radios sucesivos que marcan la dirección del calor. La operatoria matemática con transposiciones e integraciones es la que sigue:


 * <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">dQ || <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">1/ <span style="display: block; font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">= || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">-λ || __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dt/ __

<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 18px;">dR ||
 * <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d <span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 18pt;">τ || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">2 <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">¶ <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">Rl ||^  ||^   ||   ||
 * __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dQ __ || __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dR/ __ || <span style="display: block; font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">= || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">-λ || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dt ||
 * <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d <span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 18pt;">τ || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">2 <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">¶ <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">Rl ||^  ||^   ||^   ||
 * <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d <span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 18pt;">τ || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">2 <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">¶ <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">Rl ||^  ||^   ||^   ||


 * <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">dQ || <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">1/ **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 36pt;"> ∫ //** || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 12pt;">r2 ** || __<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dR __ || <span style="display: block; font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">= || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">-λ || **//<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 36pt;">∫ //** || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 12pt;">t2 ** || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">dt ||
 * ^  ||^   ||^   ||   ||^   ||^   ||^   ||^   || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 18px;">R ||
 * <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">d <span style="font-family: &#39;Times New Roman&#39;,serif; font-size: 18pt;">τ || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">2 <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">¶ <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">l ||^  ||   ||   ||^   ||^   ||^   ||   ||
 * ^  ||^   || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 12pt;">r1 ** || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 12pt;">t1 ** ||^   ||^   ||^   ||^   ||^   ||

Ejercicios de aplicación extraído de Barrios, 2003.
 * <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">dQ || <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">1/ <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">2 <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 13.5pt;">¶ <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">l || <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 18px; text-align: center;">ln/ <span style="display: block; font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">r2 || <span style="display: block; font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 13.5pt; text-align: center;">= || <span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">-λ || **<span style="font-family: Italic,serif; font-size: 13.5pt;">(t2-t1) ** ||


 * CRITERIOS PARA ESCOGER UN BUEN AISLANTE **


 * k pequeño
 * Gases no se usa por el manejo
 * Líquidos no se usa porque se mueve
 * Se utilizan más los sólidos --> lana de vidrio
 * Espesor
 * Costo
 * Calor a soportar

A continuación podemos ver algunos videos sobre la Ley de Fourier:

media type="youtube" key="600j8RXG0fA" width="425" height="350" align="center"

media type="youtube" key="c2izdGfZZYY" height="315" width="420" align="center"

Finalmente se coloca un breve resumen acerca de Transferencia de Calor:



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Estos vídeos, se muestran de manera clara algunos ejercicio de transferencia de calor, los cuales pueden ayudarnos a despejar algunas dudas que se presentan cuando realizamos nuestros deberes.

media type="youtube" key="wylBxK9Xq4I" width="425" height="350" align="center"

media type="youtube" key="Gbl_iqCCtEw" height="315" width="420" align="center"

media type="youtube" key="AQCj4uZig94" height="315" width="420" align="center"

La ley de Fourier parece sencilla pero en los problemas habituales en ingeniería su aplicación resultaría impracticable porque es un problema matemático formidablemente complejo. Como muchas veces los ingenieros tenemos que hacer “trabajo de campo” resulta que nos podemos encontrar situaciones en las que en vez de un ordenador con programas de cálculo numérico lo que tenemos es una servilleta y un lápiz. Por tanto, debemos simplificar las leyes que aplicamos para resolver los problemas. Si simplificamos mucho la ley de Fourier llegamos a la **ecuación fundamental de la transferencia de calor**:

donde la notación nos indica la derivada de la energía en forma de calor en función del tiempo,. Es decir, nos da una variación de una energía en el tiempo que no es más que el concepto de potencia. En esta versión simplificada de la ley de Fourier es el calor transferido en Watios (W=Julios/segundos, en el S.I.), U es lo que se llama **coeficiente de transferencia**  que depende fundamentalmente del material a través del cual transfiramos calor, A es el área de transferencia y Tc-Tf es la diferencia de Tª significativa del proceso bajo estudio entre el foco caliente y el frío. Al producto UA se le denomina **transmitancia** (o coeficiente GLOBAL de transferencia de calor). Aclaremos que a partir de ahora cada vez que coloquemos un puntito indicaremos valores instantáneos, variaciones de la cantidad estudiada en el tiempo. A estas cantidades en ingeniería se las suele denominar **caudales** o **potencias**. Además, hay que evitar confundir el símbolo la unidad de potencia (W) que se aplica a las medidas de potencia mecánica (trabajo) o térmica (calor) con el propio trabajo, que normalmente también se representa con una W. Esto tal vez sea un poco confuso pero es la convención históricamente aceptada.

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 * Referencias:**


 * http://www.migui.com/ciencias/fisica/fisica-cotidiana-las-ventanas-en-invierno.html
 * []
 * []
 * Química Física Avanzada. 2009. Universidad de Valencia. En línea:__http://ocw.uv.es/ciencias/3-2/tema_4_fen_trans.pdf__ Consultado: 11/01/2012
 * Barrios Esteban. (2003). Termodinámica: Conducción-Ley de Furier. Buenos Aires, Argentina. Sitio Web: []